دوستداران ریاضی

جشنواره ی تخم مرغ در تبریز

::
سپهر محدثی

انواع روش‌های حل معادله درجه2 (قسمت اول)

معادلات درجه دو با روش‌های فاکتورگیری، مربع کامل کردن، نمودار تابع(رسم نمودار)، روش نیوتون و روش‌های دیگر حل می‌شوند.

فاکتورگیری

این روش موقعی کارایی مناسبی دارد که بتوان به طریقی با تقسیم کل معادله بر ضریب جمله $x^2\,$ دو ثابت $b\,$ و $c\,$ ای به دست آورد که بین آن‌ها رابطه‌ای به شکل $b=m+n\,$ و $c=mn\,$

به سرعت به ذهن‌مان برسد. به این روش که منتج شده از اتّحاد ریاضیاتی معروف به جمله مشترک است ، روش حل تجزیه‌ای هم گفته می‌شود. سپس معادله بر اساس این اتحاد به شکل $(x+m)(x+n)=0\,$ در می‌آید و در این حالت به آسانی با برابر صفر قرار دادن هر پرانتز به جواب‌های $x=-m , x=-n\,$ می‌رسیم.

مثال: می‌خواهیــم معادله $2x^2-8x+6=0\,$ را حل کنیم. ابتدا دو طرف را بر دو تقسیم می‌کنیم تا ضریب $x^2\,$ یک شود. سپس در صدد یافتن m و n برمی‌آییم. $x^2-4x+3=0\,$ همان‌طور که می‌بینیم $-2=(-1)+(-3) , 3=(-1)(-3)\,$ پس جواب‌ها به صورت $x=1 , x=3\,$ می‌باشند.

روش مربـّـع کامل کردن

این روش بر مبنای یکی از معروف‌ترین اتّحادهای ریاضی ، معروف به اتحاد مربـّـع دوجمله‌ای به دست آمده‌است. برای هر دو عبارت ریاضی مثل A و B این اتحاد به این صورت ارائه می‌گردد: $(A+B)^2=(A)^2+2(A)(B)+(B)^2\,$

حال ما باید $ax^2\,$ را به صورت $(\sqrt {a}x)^2\,$ در نظر بگیریم و $bx\,$ را به صورت $2(\sqrt {a}x)L\,$ و از آنجا $L\,$ را به دست آورده و مقدار $L^2\,$ را از طرف چپ معادله کم و زیاد کنــیم و پس از مرتب کردن و فاکتورگیــری ، معادله را به شکل

$((\sqrt {a})x+L)^2+c-(L^2)=0\,$ درآوریم. که درصورتی معادله جواب حقیقی دارد که $(L^2)-c\,$ مقداری مثبت یا صفر شود.

مثال : می‌خواهیم $4x^2+12x+5=0\,$ را حل کنــیم. $(\sqrt {4}x+3)^2+5-9=0\,$ و سپس نتیجه می‌شود : $(2x+3)^2=4\,$ و داریــــم: $(2x+3)=+2 , (2x+3)=-2\,$ و از آنجا به دست می‌آوریم : $x=-0.5 , x=-2.5\,$

::
سپهر محدثی

نوروز

نوروز 93 مبارک.

::
سپهر محدثی

محور مختصات

دستگاه مختصات دکارتی، در هندسه، به نمایش هر نقطه از صفحه با دو عدد (یک زوج مرتب) گفته می‌شود. این دو عدد را معمولاً به نام‌های مختصه X و مختصه Y می‌خوانند. در دستگاه محورهای مختصات دوبعدی، محورهای X و Y بر هم عمودند، از همین رو این دستگاه را دستگاه محورهای متعامد نیز می‌گویند.

برای نمایش هندسی هر نقطه، دو خط عمود بر هم را، که محور مختصات X (خِفت یا آبسیس) و محور مختصات Y، (یا اردنه) نامیده می‌شوند، رسم می‌کنند و از محل تقاطع این دو محور، که مبدا مختصات نام دارد، روی هر محور به اندازه مختصه X و مختصه Y دو طول را (بر حسب واحد طول) مشخص می‌کنند. خط‌هایی که در انتهای این طول‌ها عمود بر محورهای مختصات رسم شود در نقطه‌ای یکدیگر را قطع می‌کنند. این محل تقاطع نمایش هندسی نقطه مورد نظر است.

نام این دستگاه مختصات از نام ریاضیدان و فیلسوف فرانسوی رنه دکارت (۱۵۹۶-۱۶۵۰) که این روش را برای مشخص کردن یک نقطه در صفحه کشف کرد، گرفته شده‌است.

با کاربرد دستگاه مختصات دکارتی امکان رسم معادلات جبری به صورت خط و منحنی و یا محاسبه زوایا و فواصل و همچنین نوشتن معادله مختصات یک شکل در صفحه فراهم می‌شود.