روش حل معادله درجه دو(قسمت 2)

دوستداران ریاضی

روش مربـّـع کامل کردن

این روش بر مبنای یکی از معروف‌ترین اتّحادهای ریاضی ، معروف به اتحاد مربـّـع دوجمله‌ای به دست آمده‌است. برای هر دو عبارت ریاضی مثل A و B این اتحاد به این صورت ارائه می‌گردد: $(A+B)^2=(A)^2+2(A)(B)+(B)^2\,$

حال ما باید $ax^2\,$ را به صورت $(\sqrt {a}x)^2\,$ در نظر بگیریم و $bx\,$ را به صورت $2(\sqrt {a}x)L\,$ و از آنجا $L\,$ را به دست آورده و مقدار $L^2\,$ را از طرف چپ معادله کم و زیاد کنــیم و پس از مرتب کردن و فاکتورگیــری ، معادله را به شکل

$((\sqrt {a})x+L)^2+c-(L^2)=0\,$ درآوریم. که درصورتی معادله جواب حقیقی دارد که $(L^2)-c\,$ مقداری مثبت یا صفر شود.

مثال : می‌خواهیم $4x^2+12x+5=0\,$ را حل کنــیم. $(\sqrt {4}x+3)^2+5-9=0\,$ و سپس نتیجه می‌شود : $(2x+3)^2=4\,$ و داریــــم: $(2x+3)=+2 , (2x+3)=-2\,$ و از آنجا به دست می‌آوریم : $x=-0.5 , x=-2.5\,$

روش حل عمومی معادله درجه ۲

راه حل عمومی آن به صورت زیر است:

$x=\frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}$

که نماد "±" به معنی هر دو است

$x=\frac{-b + \sqrt {b^2-4ac}}{2a}$

$x=\frac{-b - \sqrt {b^2-4ac}}{2a}$

هر دو جواب‌هایی از معادله درجه ۲ هستند.

در صورتی که $b^2-4ac$ کوچکتر از صفر باشد معادله جواب حقیقی ندارد و در صورتی که برابر صفر باشد دو حل به یک حل تبدیل شده و گفته می‌شود معادله یک ریشه مضاعف دارد.